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CONTENTS,PARTONE,数学发展历史应用实际问题数学起源于人类早期的生产活动，古巴比伦人从远古时代开始已经积累了一定的数学知识，并能应用实际问题。所做出的贡献从数学本身看，他们的数学知识也只是观察和经验所得，没有综合结论和证明，但也要充分肯定他们对数学所做出的贡献．基本概念其基本概念的精炼早在古埃及、美索不达米亚及古印度内的古代数学文本内便可观见。持续不断地进展从那时开始，其发展便持续不断地有小幅度的进展．但当时的代数学和几何学长久以来仍处于独立的状态.代数学代数学可以说是最为人们广泛接受的“数学”．可以说每一个人从小时候开始学数数起，最先接触到的数学就是代数学．数学分支而数学作为一个研究“数”的学科，代数学也是数学最重要的组成部分之一．几何学则是最早开始被人们研究的数学分支．,抽象的代数方程直到16世纪的文艺复兴时期，笛卡尔创立了解析几何，将当时完全分开的代数和几何学联系到了一起．从那以后，我们终于可以用计算证明几何学的定理；同时也可以用图形来形象的表示抽象的代数方程．而其后更发展出更加精微的微积分．现时数学已包括多个分支．数学发展历史,PARTTWO,数学主义定义强调数学演绎性质数学家和哲学家开始提出各种新的定义。这些定义中的一些强调了大量数学的演绎性质，一些强调了它的抽象性，一些强调数学中的某些话题。没有一致意见即使在专业人士中，对数学的定义也没有达成共识。数学是否是艺术或科学，甚至没有一致意见。是不可定义的许多专业数学家对数学的定义不感兴趣，或者认为它是不可定义的。有些只是说，“数学是数学家做的。”“数量数学”亚里士多德把数学定义为“数量数学”，这个定义直到18世纪。从19世纪开始，数学研究越来越严格，开始涉及与数量和量度无明确关系的群论和投影几何等抽象主题。直觉主义定义从数学家L.E.J.Brouwer，识别具有某些精神现象的数学。直觉主义定义的一个例子是“数学是一个接着一个进行构造的心理活动”。直观主义的特点是它拒绝根据其他定义认为有效的一些数学思想。数学思想数学主义定义,PARTTHREE,数学数理逻辑一架构的成果数学逻辑专注在将数学置于一坚固的公理架构上，并研究此一架构的成果。广为流传的成果就其本身而言，其为哥德尔第二不完备定理的产地，而这或许是逻辑中最广为流传的成果．密切的关联性现代逻辑被分成递归论、模型论和证明论，且和理论计算机科学有着密切的关联性。数学基础为了弄清楚数学基础，数学逻辑和集合论等领域被发展了出来。德国数学家康托尔（1845—1918）首创集合论，大胆地向“无穷大”进军，为的是给数学各分支提供一个坚实的基础，而它本身的内容也是相当丰富的，提出了实无穷的思想，为以后的数学发展作出了不可估量的贡献。数学数理逻辑集合论在20世纪初已逐渐渗透到了各个数学分支，成为了分析理论、测度论、拓扑学及数理科学中必不可少的工具。20世纪初，数学家希尔伯特在德国传播了康托尔的思想。康托尔的思想把集合论称为“数学家的乐园”和“数学思想最惊人的产物”．英国哲学家罗素把康托的工作誉为“这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。PARTFOUR,数学的严谨性特别意思亦困恼着初学者，如开放和域等字在数学里有着特别的意思数学术语亦包括如同胚及可积性等专有名词，但使用这些特别符号和专有术语是有其原因的定理系统化严谨是数学证明中很重要且基本的一部分．数学家希望他们的定理以系统化的推理依着公理被推论下去．逻辑精确数学需要比日常用语更多的精确性．数学家将此对语言及逻辑精确性的要求称为“严谨”．数学语言亦对初学者而言感到困难．如何使这些字有着比日常用语更精确的意思0504030201,数学的严谨性不可靠的直观从而得出错误的“定理”或“证明”而这情形在历史上曾出现过许多的例子。严谨程度在数学中被期许的严谨程度因着时间而不同：希腊人期许着仔细的论点有效地严谨当大量的计算难以被验证时，其证明亦很难说是有效地严谨123严谨是数学证明中重要部分